About: Gelfand–Naimark theorem

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In mathematics, the Gelfand–Naimark theorem states that an arbitrary C*-algebra A is isometrically *-isomorphic to a C*-subalgebra of bounded operators on a Hilbert space. This result was proven by Israel Gelfand and Mark Naimark in 1943 and was a significant point in the development of the theory of C*-algebras since it established the possibility of considering a C*-algebra as an abstract algebraic entity without reference to particular realizations as an operator algebra.

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has abstract	Die Gelfand-Neumark-Sätze (nach Israel Gelfand und Mark Neumark) und die GNS-Konstruktion bilden die Ausgangspunkte der mathematischen Theorie der C-Algebren. Sie verbinden abstrakt definierte C-Algebren mit konkreten Algebren von Funktionen und Operatoren. Die ersten Beispiele von C-Algebren, die man direkt nach der Definition angeben kann, sind die Algebra der stetigen Funktionen auf einem lokalkompakten Hausdorff-Raum X, die im Unendlichen verschwinden (siehe hierzu C0-Funktion), und die Unter-C-Algebren von , wobei die Algebra der beschränkten, linearen Operatoren auf einem Hilbertraum H ist. Die Gelfand-Neumark-Sätze zeigen, dass dies bis auf isometrische -Isomorphie bereits alle möglichen C-Algebren sind. Diese Resultate sind erstaunlich, denn in der Definition der C-Algebren ist weder von lokalkompakten Hausdorff-Räumen noch von Hilberträumen die Rede. (de) In mathematics, the Gelfand–Naimark theorem states that an arbitrary C-algebra A is isometrically -isomorphic to a C-subalgebra of bounded operators on a Hilbert space. This result was proven by Israel Gelfand and Mark Naimark in 1943 and was a significant point in the development of the theory of C-algebras since it established the possibility of considering a C-algebra as an abstract algebraic entity without reference to particular realizations as an operator algebra. (en) 作用素環論において、ゲルファント＝ナイマルクの定理(—のていり、英: Gelfand–Naimark theorem)とはC環の基本構造定理。単位的可換C環があるコンパクト・ハウスドルフ空間上の連続な複素数値関数のなすととなることを主張する。1943年にロシアの数学者イズライル・ゲルファントとによって、導かれた。C環の構造を分類する基本定理であるともに、位相群上のや正規作用素のスペクトル理論に応用される。圏論的な観点では、局所コンパクト・ハウスドルフ空間のなす圏と可換なC環のなす圏の反変同値を意味しており、アレクサンドル・グロタンディークによるスキーム理論の形成にも影響を与えた。なお、可換とは限らない一般のC環については、あるヒルベルト空間上の有界作用素がなすC環と等距離∗同型となるが、この定理もゲルファント＝ナイマルクの定理と呼ばれる。可換及び非可換なC*環における構造を示した二つのゲルファント＝ナイマルクの定理は、アラン・コンヌによる非可換幾何の創設の動機付けの一つともなっている。 (ja) Теорема Гельфанда—Наймарка — два тесно связанных утверждения, описывающие унитальные -алгебры. (ru)
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